martes, 3 de junio de 2014

Distribución exponencial

Distribución exponencial

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:


  • Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que,
  • el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:


  • El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;
  • El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente;
  • En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.
Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de $I\!\!R^+$, es tal que su función de densidad es
\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \mbox{si } 0<x $ } } } \end{displaymath}
se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro $\lambda$, $X{\leadsto}{ {{\bf Exp} \left( \lambda \right)} }$.

  
Figura: Función de densidad, f, de una ${ {{\bf Exp} \left ( \lambda \right )} }$.
\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-04.epsi}

Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,


\begin{displaymath}\int_0^x \lambda e^{-\lambda t} \, dt = \left. -e^{-\lambda t} \right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x} \end{displaymath}


luego la función de distribución es:


\begin{displaymath}F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - e^{-\lambda x} & \mbox{si } 0<x \\ \\ 0 & \mbox{ en otro caso.} \end{array}\right. \end{displaymath}



  
Figura: Función de distribución, F, de ${ {{\bf Exp} \left ( \lambda \right )} }$, calculada como el área que deja por debajo de sí la función de densidad.
\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-05.epsi}

Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribución exponencial, obtenemos en primer lugar la función característica


\begin{displaymath}\phi_X(t) = \int_0^{+\infty} e^{itx} \lambda e^{-\lambda x}\,... ...-\lambda)x} \right]_0^{+\infty} = - \frac{\lambda}{it-\lambda} \end{displaymath}


para después, derivando por primera vez

\begin{eqnarray}\html{eqn61}\nonumber \phi_X^,(t) &=& \frac{\lambda i}{(it-\lamb... ...ight]} } &=& \frac{\phi_X^,(0)}{i} = \frac{1}{\lambda} \nonumber \end{eqnarray}

y derivando por segunda vez,

\begin{eqnarray}\html{eqn61}\nonumber \phi_X^{,,}(t) &=& \frac{-2 \lambda i^2}{(... ...} = \frac{-2 \lambda}{-\lambda^3} =\frac{2}{\lambda^2} \nonumber \end{eqnarray}

Entonces la varianza vale


\begin{displaymath}{ {{\bf Var } \left[ X \right]} }={ {{\bf E} \left[ X^2 \righ... ...a^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 =\frac{1}{\lambda^2} \end{displaymath}



6.8.4.1 Ejemplo

En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de $\,_{84}^{210}\!Po$. Sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos idas transcurrirán hasta que haya desaparecido el $90\%$ de este material?

Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de $\,_{84}^{210}\!Po$es una v.a. de distribución exponencial:

\begin{eqnarray}\html{eqn61}T{\leadsto}{ {{\bf Exp} \left( \lambda=\frac{1}{140}... ... &\Longleftrightarrow&\qquad F(t)=1 - e^{-\lambda \,t} \nonumber \end{eqnarray}

Como el número de átomos de $\,_{84}^{210}\!Po$ existentes en una muestra de 10 gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegración de cada uno de estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva de su función de distribución F. Entonces el tiempo que transcurre hasta que el $90\%$ del material radiactivo se desintegra es el percentil 90, t90, de la distribución exponencial, es decir


\begin{displaymath}F(t_{90}) = 0,9 \;\;\Leftrightarrow\;\;e^{-\lambda\,t_{90}}= ... ...t_{90}=- \frac{1}{\lambda}\, \ln 0,1 \approx 322 \mbox{ días} \end{displaymath}



  
Figura: Como el número de átomos (observaciones) es extremadamente alto en 10 gramos de materia, el histograma puede ser aproximado de modo excelente por la función de densidad exponencial, y el polígono de frecuencias acumuladas por la función de distribución.
\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-06.epsi}


6.8.4.2 Ejemplo

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de $25\%$años?

Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona. Tenemos que

\begin{eqnarray}\html{eqn61}T{\leadsto}{ {{\bf Exp} \left( \lambda=\frac{1}{16} ... ... &\Longleftrightarrow&\qquad F(t)=1 - e^{-\lambda \,t} \nonumber \end{eqnarray}

Entonces


\begin{displaymath}{{\cal P}}[T\leq 20] = \int_0^{20}\, f(t)\,dt = F(20) = 1-e^{-\frac{20}{16}}= 0,7135 \end{displaymath}


En segundo lugar

\begin{eqnarray}\html{eqn61}{{\cal P}}[T\leq 25_{\mid T\geq 5}] &=& \displaystyl... ...tminus}-1{\!\!\!\setminus} +e^{-\frac{5}{16}} = 0,7316 \nonumber \end{eqnarray}

Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,


\begin{displaymath}{{\cal P}}[T\leq 25_{\mid T\geq 5}] = {{\cal P}}[T\leq 20] \end{displaymath}


o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución exponencial no tiene memoria".
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